د ـــ عدد 6174 را در نظر بگیرید و ارقام آن را چنان جابه جا کنید که بزرگترین عدد ممکن از آنها ساخته شود ؛ یعنی آنها را به ترتیب نزولی قرار دهید . همچنین ارقام این عدد را طوری جابه جا کنید که کوچکترین عدد ممکن از آنها تشکیل شود و عدد اخیر را از عدد اول کم کنید . خواهید داشت :

6174 =1467-7641

که همان عددی است که با آن شروع کردیم .
حال همین روش را در مورد عدد 4959 اجرا می کنیم . داریم

53550 = 4599- 9954

ظاهراً در این مورد چیز قابل توجهی دیده نمی شود . اگر همین روش را در موردعدد 5355 به کار بریم ، به دست می آوریم

1998 = 3555 – 5553

که باز هم نکته خاصی در بر ندارد . مع هذا ، اگر این روش را در مورد نتایج متوالی که به این طریق به دست می آیند اعمال کنیم ، خواهیم داشت :

8082= 1899-9981
8532=0288- 8820
617?=2358-8532

واقعیت این است که با هر عدد چهار رقمی این کار را شروع کنیم ، به شرط این که ارقام عدد همگی یکسان نباشد ، این روش عدد 6174 را در حد اکثر 7 مرحله به دست خواهد داد . اما تعداد اعداد چهار رقمی که همه ی ارقامشان با هم مساوی نیستند برابر ???? است و  آزمایش تمام آن ها ملال آور و دشوار است. لذا با استفاده از کامپیوتر و توانمندی های آن ضمن یک برنامه ریزی ، قضیه اثبات می شود. بنا بر این مجموعه ی{ ????} =A یک سیاه چاله ی ریاضی است.
همین فرایند را در مورد هر عدد سه رقمی که رقم صدگان و یکان آن با هم مساوی نیستند اجرا کنید به سیاه چاله ی { ??? } =A می رسید.

تمرین ـــ تابع F به هر عدد طبیعی مجموع مربعات ارقام آن عدد را متناظر می کند. نشان دهید دنباله ای از این اعداد در نهایت سیاه چاله ی { ? ، ? } را ایجاد میکند .
درپاسخ به این سئوال در می یابید که باید از توانمندی های کامپیوتر با یک برنامه ی ساده استفاده کنید.